Truth, Proof and Gödelian Arguments: A Defence of Tarskian Truth in Mathematics

    Research output: ThesisDoctoral ThesisMonograph

    Abstract

    Eräs tärkeimmistä kysymyksistä matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden välinen suhde. Kantaa, jonka mukaan nämä kaksi käsitettä ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista näkökulmaa substantialismiksi. Ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessaan Kurt Gödel todisti, että kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sisältävät formaalit systeemit sisältävät lauseita, joita ei voida sen enempää todistaa kuin osoittaa epätosiksi kyseisen systeemin sisällä. Tällaiset Gödel-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemiä Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat näyttäneet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heidän mukaansa Gödel-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu.

    Tätä vastaan Neil Tennant on näyttänyt, että tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemiä ns. pätevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”väitettävissä”, ja josta seuraa myös Gödel-lauseiden väitettävyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystytäänkö Gödel-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyväksyttävämpi laajennus kuin pätevyysperiaate. Tässä työssä väitän, että tätä ongelmaa on paras lähestyä ajattelemalla matematiikkaa ilmiönä, joka on laajempi kuin pelkästään formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme että tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. Väitän, että totuus on esiformaalissa matematiikassa sitä mitä todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuuskäsitys kuvaa tätä suhdetta tarkasti.

    Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, että vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkityksetöntä mikäli se ei viittaa mihinkään objektiiviseen. Tätä vastaan väitän, että kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehdä luonnollisesti. Väitän siis, että mikäli matematiikan mielivaltaisuus hylätään, täytyy hyväksyä totuuden substantiaalisuus. Muita tähän liittyviä aiheita, kuten uusfregeläisyyttä, käsitellään myös tässä työssä, eikä niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle.

    Ainoa jäljelle jäävä mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, että formaalit kielet voivat sisältää omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti tämän mahdottomaksi klassisille ensimmäisen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei välttämättä olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemejä, ja yllä esitetty argumentti ei pätisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn tässä työssä eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusystävälliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on väittänyt, että IF-kieli voi sisältää oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. Väitän kuitenkin, että vaikka tämä onkin totta, tätä predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sisäisesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle säilyy. IF-logiikan lisäksi myös toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken käyttämä Kleenen logiikka epäonnistuvat samalla tavalla.
    Translated title of the contributionTotuus, todistettavuus ja gödeliläiset argumentit: Tarskilaisen totuuden puolustus matematiikassa
    Original languageEnglish
    Place of PublicationHelsinki
    Publisher
    Print ISBNs978-952-10-5373-3
    Electronic ISBNs978-952-10-5374-0
    Publication statusPublished - 27 Apr 2009
    MoE publication typeG4 Doctoral dissertation (monograph)

    Fields of Science

    • 611 Philosophy
    • 111 Mathematics

    Cite this

    Pantsar, M. (2009). Truth, Proof and Gödelian Arguments: A Defence of Tarskian Truth in Mathematics. Helsinki: University of Helsinki, Department of Philosophy.
    Pantsar, Markus. / Truth, Proof and Gödelian Arguments : A Defence of Tarskian Truth in Mathematics. Helsinki : University of Helsinki, Department of Philosophy, 2009. 308 p.
    @phdthesis{a5ceb7156c9a4c6dad7b4386ce0dc6a0,
    title = "Truth, Proof and G{\"o}delian Arguments: A Defence of Tarskian Truth in Mathematics",
    abstract = "Er{\"a}s t{\"a}rkeimmist{\"a} kysymyksist{\"a} matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden v{\"a}linen suhde. Kantaa, jonka mukaan n{\"a}m{\"a} kaksi k{\"a}sitett{\"a} ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista n{\"a}k{\"o}kulmaa substantialismiksi. Ensimm{\"a}isess{\"a} ep{\"a}t{\"a}ydellisyyslauseessaan Kurt G{\"o}del todisti, ett{\"a} kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sis{\"a}lt{\"a}v{\"a}t formaalit systeemit sis{\"a}lt{\"a}v{\"a}t lauseita, joita ei voida sen enemp{\"a}{\"a} todistaa kuin osoittaa ep{\"a}tosiksi kyseisen systeemin sis{\"a}ll{\"a}. T{\"a}llaiset G{\"o}del-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemi{\"a} Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat n{\"a}ytt{\"a}neet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heid{\"a}n mukaansa G{\"o}del-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu. T{\"a}t{\"a} vastaan Neil Tennant on n{\"a}ytt{\"a}nyt, ett{\"a} tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemi{\"a} ns. p{\"a}tevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”v{\"a}itett{\"a}viss{\"a}”, ja josta seuraa my{\"o}s G{\"o}del-lauseiden v{\"a}itett{\"a}vyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystyt{\"a}{\"a}nk{\"o} G{\"o}del-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyv{\"a}ksytt{\"a}v{\"a}mpi laajennus kuin p{\"a}tevyysperiaate. T{\"a}ss{\"a} ty{\"o}ss{\"a} v{\"a}it{\"a}n, ett{\"a} t{\"a}t{\"a} ongelmaa on paras l{\"a}hesty{\"a} ajattelemalla matematiikkaa ilmi{\"o}n{\"a}, joka on laajempi kuin pelk{\"a}st{\"a}{\"a}n formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme ett{\"a} tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. V{\"a}it{\"a}n, ett{\"a} totuus on esiformaalissa matematiikassa sit{\"a} mit{\"a} todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuusk{\"a}sitys kuvaa t{\"a}t{\"a} suhdetta tarkasti. Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, ett{\"a} vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkitykset{\"o}nt{\"a} mik{\"a}li se ei viittaa mihink{\"a}{\"a}n objektiiviseen. T{\"a}t{\"a} vastaan v{\"a}it{\"a}n, ett{\"a} kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehd{\"a} luonnollisesti. V{\"a}it{\"a}n siis, ett{\"a} mik{\"a}li matematiikan mielivaltaisuus hyl{\"a}t{\"a}{\"a}n, t{\"a}ytyy hyv{\"a}ksy{\"a} totuuden substantiaalisuus. Muita t{\"a}h{\"a}n liittyvi{\"a} aiheita, kuten uusfregel{\"a}isyytt{\"a}, k{\"a}sitell{\"a}{\"a}n my{\"o}s t{\"a}ss{\"a} ty{\"o}ss{\"a}, eik{\"a} niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle. Ainoa j{\"a}ljelle j{\"a}{\"a}v{\"a} mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, ett{\"a} formaalit kielet voivat sis{\"a}lt{\"a}{\"a} omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti t{\"a}m{\"a}n mahdottomaksi klassisille ensimm{\"a}isen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei v{\"a}ltt{\"a}m{\"a}tt{\"a} olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemej{\"a}, ja yll{\"a} esitetty argumentti ei p{\"a}tisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn t{\"a}ss{\"a} ty{\"o}ss{\"a} eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusyst{\"a}v{\"a}lliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on v{\"a}itt{\"a}nyt, ett{\"a} IF-kieli voi sis{\"a}lt{\"a}{\"a} oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. V{\"a}it{\"a}n kuitenkin, ett{\"a} vaikka t{\"a}m{\"a} onkin totta, t{\"a}t{\"a} predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sis{\"a}isesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle s{\"a}ilyy. IF-logiikan lis{\"a}ksi my{\"o}s toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken k{\"a}ytt{\"a}m{\"a} Kleenen logiikka ep{\"a}onnistuvat samalla tavalla.",
    keywords = "611 Philosophy, Matematiikanfilosofia, 111 Mathematics, Matematiikan perusteet",
    author = "Markus Pantsar",
    year = "2009",
    month = "4",
    day = "27",
    language = "English",
    isbn = "978-952-10-5373-3",
    series = "Filosofisia tutkimuksia Helsingin yliopistosta",
    publisher = "University of Helsinki, Department of Philosophy",
    number = "23",
    address = "Finland",

    }

    Truth, Proof and Gödelian Arguments : A Defence of Tarskian Truth in Mathematics. / Pantsar, Markus.

    Helsinki : University of Helsinki, Department of Philosophy, 2009. 308 p.

    Research output: ThesisDoctoral ThesisMonograph

    TY - THES

    T1 - Truth, Proof and Gödelian Arguments

    T2 - A Defence of Tarskian Truth in Mathematics

    AU - Pantsar, Markus

    PY - 2009/4/27

    Y1 - 2009/4/27

    N2 - Eräs tärkeimmistä kysymyksistä matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden välinen suhde. Kantaa, jonka mukaan nämä kaksi käsitettä ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista näkökulmaa substantialismiksi. Ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessaan Kurt Gödel todisti, että kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sisältävät formaalit systeemit sisältävät lauseita, joita ei voida sen enempää todistaa kuin osoittaa epätosiksi kyseisen systeemin sisällä. Tällaiset Gödel-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemiä Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat näyttäneet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heidän mukaansa Gödel-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu. Tätä vastaan Neil Tennant on näyttänyt, että tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemiä ns. pätevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”väitettävissä”, ja josta seuraa myös Gödel-lauseiden väitettävyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystytäänkö Gödel-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyväksyttävämpi laajennus kuin pätevyysperiaate. Tässä työssä väitän, että tätä ongelmaa on paras lähestyä ajattelemalla matematiikkaa ilmiönä, joka on laajempi kuin pelkästään formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme että tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. Väitän, että totuus on esiformaalissa matematiikassa sitä mitä todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuuskäsitys kuvaa tätä suhdetta tarkasti. Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, että vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkityksetöntä mikäli se ei viittaa mihinkään objektiiviseen. Tätä vastaan väitän, että kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehdä luonnollisesti. Väitän siis, että mikäli matematiikan mielivaltaisuus hylätään, täytyy hyväksyä totuuden substantiaalisuus. Muita tähän liittyviä aiheita, kuten uusfregeläisyyttä, käsitellään myös tässä työssä, eikä niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle. Ainoa jäljelle jäävä mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, että formaalit kielet voivat sisältää omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti tämän mahdottomaksi klassisille ensimmäisen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei välttämättä olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemejä, ja yllä esitetty argumentti ei pätisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn tässä työssä eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusystävälliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on väittänyt, että IF-kieli voi sisältää oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. Väitän kuitenkin, että vaikka tämä onkin totta, tätä predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sisäisesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle säilyy. IF-logiikan lisäksi myös toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken käyttämä Kleenen logiikka epäonnistuvat samalla tavalla.

    AB - Eräs tärkeimmistä kysymyksistä matematiikanfilosofiassa on totuuden ja formaalin todistettavuuden välinen suhde. Kantaa, jonka mukaan nämä kaksi käsitettä ovat yksi ja sama, kutsutaan deflationismiksi, ja vastakkaista näkökulmaa substantialismiksi. Ensimmäisessä epätäydellisyyslauseessaan Kurt Gödel todisti, että kaikki ristiriidattomat ja aritmetiikan sisältävät formaalit systeemit sisältävät lauseita, joita ei voida sen enempää todistaa kuin osoittaa epätosiksi kyseisen systeemin sisällä. Tällaiset Gödel-lauseet voidaan kuitenkin osoittaa tosiksi, jos laajennamme formaalia systeemiä Alfred Tarskin semanttisella totuusteorialla, kuten Stewart Shapiro ja Jeffrey Ketland ovat näyttäneet semanttisissa argumenteissaan substantialismin puolesta. Heidän mukaansa Gödel-lauseet ovat eksplisiittinen tapaus todesta lauseesta, jota ei voida todistaa, ja siten deflationismi on kumottu. Tätä vastaan Neil Tennant on näyttänyt, että tarskilaisen totuuden sijaan voimme laajentaa formaalia systeemiä ns. pätevyysperiaatteella, jonka mukaan kaikki todistettavat lauseet ovat ”väitettävissä”, ja josta seuraa myös Gödel-lauseiden väitettävyys. Relevantti kysymys ei siis ole se pystytäänkö Gödel-lauseiden totuus osoittamaan, vaan se onko tarskilainen totuus hyväksyttävämpi laajennus kuin pätevyysperiaate. Tässä työssä väitän, että tätä ongelmaa on paras lähestyä ajattelemalla matematiikkaa ilmiönä, joka on laajempi kuin pelkästään formaalit systeemit. Kun otamme huomioon esiformaalin matemaattisen ajattelun, huomaamme että tarskilainen totuus ei itse asiassa ole laajennus lainkaan. Väitän, että totuus on esiformaalissa matematiikassa sitä mitä todistettavuus on formaalissa, ja tarskilainen semanttinen totuuskäsitys kuvaa tätä suhdetta tarkasti. Deflationisti voi kuitenkin argumentoida, että vaikka esiformaali matematiikka on olemassa, voi se silti olla filosofisesti merkityksetöntä mikäli se ei viittaa mihinkään objektiiviseen. Tätä vastaan väitän, että kaikki todella deflationistiset teoriat johtavat matematiikan mielivaltaisuuteen. Kaikissa muissa matematiikanfilosofisissa teorioissa on tilaa objektiiviselle viittaukselle, ja laajennus tarskilaiseen totuuteen voidaan tehdä luonnollisesti. Väitän siis, että mikäli matematiikan mielivaltaisuus hylätään, täytyy hyväksyä totuuden substantiaalisuus. Muita tähän liittyviä aiheita, kuten uusfregeläisyyttä, käsitellään myös tässä työssä, eikä niiden todeta poistavan tarvetta tarskilaiselle totuudelle. Ainoa jäljelle jäävä mahdollisuus deflationistille on vaihtaa logiikkaa niin, että formaalit kielet voivat sisältää omat totuuspredikaattinsa. Tarski osoitti tämän mahdottomaksi klassisille ensimmäisen kertaluvun kielille, mutta muilla logiikoilla ei välttämättä olisi lainkaan tarvetta laajentaa formaaleja systeemejä, ja yllä esitetty argumentti ei pätisi. Vaihtoehtoisista tavoista keskityn tässä työssä eniten Jaakko Hintikan ja Gabriel Sandun ”riippumattomuusystävälliseen” IF-logiikkaan. Hintikka on väittänyt, että IF-kieli voi sisältää oman adekvaatin totuuspredikaattinsa. Väitän kuitenkin, että vaikka tämä onkin totta, tätä predikaattia ei voida tunnistaa totuuspredikaatiksi saman IF-kielen sisäisesti, ja siten tarve tarskilaiselle totuudelle säilyy. IF-logiikan lisäksi myös toisen kertaluvun klassinen logiikka ja Saul Kripken käyttämä Kleenen logiikka epäonnistuvat samalla tavalla.

    KW - 611 Philosophy

    KW - Matematiikanfilosofia

    KW - 111 Mathematics

    KW - Matematiikan perusteet

    M3 - Doctoral Thesis

    SN - 978-952-10-5373-3

    T3 - Filosofisia tutkimuksia Helsingin yliopistosta

    PB - University of Helsinki, Department of Philosophy

    CY - Helsinki

    ER -

    Pantsar M. Truth, Proof and Gödelian Arguments: A Defence of Tarskian Truth in Mathematics. Helsinki: University of Helsinki, Department of Philosophy, 2009. 308 p. (Filosofisia tutkimuksia Helsingin yliopistosta; 23).